Để chứng minh các điều kiện trong bài toán này, ta tiến hành từng bước một:

### a) ΔAEB ∼ ΔADC

**Chứng minh:**

1. **Tỉ lệ cạnh:**
- Gọi \( AB = 8 \) cm, \( AC = 16 \) cm.
- \( \frac{AB}{AC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \).

2. **Tỉ lệ đoạn thẳng:**
- Dựa vào thông tin cho rằng \( D \) và \( E \) là các điểm trên \( AB \) và \( AC \), với khoảng cách \( BD = 2 \) cm.
- Do đó, \( AD = AB - BD = 8 - 2 = 6 \) cm.

3. **So sánh tỉ lệ các cặp cạnh:**
- Ta có \( \frac{AD}{AC} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \).
- Từ đó, ta có \( \frac{AB}{AD} = \frac{1}{2} \) và \( \frac{CE}{AC} = \frac{CE}{16} \).

4. **Góc:**
- Khi đó, \( \angle ABE = \angle ACD \) (cùng một góc chung trong tam giác).

5. **Suy ra:**
- Vì \( \frac{AB}{AD} = \frac{1}{2} \) và \( \frac{CE}{AC} = \frac{CE}{16} \) thì ta có \( ΔAEB \sim ΔADC \).

### b) ∠AED = ∠ABC

**Chứng minh:**

1. **Sử dụng góc đối nhau:**
- Dễ dàng nhận thấy rằng \( AE \) và \( AC \) cắt nhau, nên \( \angle AED \) và \( \angle ABC \) là góc đồng vị.

2. **Suy ra:**
- Do đó, \( \angle AED = \angle ABC \).

### c) AE \cdot AC

**Chứng minh:**

1. **Tích cạnh:**
- Áp dụng định lý lượng giác trong tam giác, ta có:
\[
AE \cdot AC = AB \cdot AD.
\]

2. **Kết luận:**
- Giả sử \( E \) cách \( B \) một khoảng và \( D \) cách \( A \) một khoảng như trong bài cho, ta có thể suy ra tích \( AE \cdot AC \).

### Kết luận
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được:

a) \( ΔAEB \sim ΔADC \)

b) \( ∠AED = ∠ABC \)

c) \( AE \cdot AC \)

Đây là những điều kiện cần chứng minh trong bài.