Chứng minh rằng EC·AC + EB·BF = BC²

Để chứng minh rằng \( EC \cdot AC + EB \cdot BF = BC^2 \), ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Đặt Đồ Thị:** Giả sử tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông. Gọi \( D \) là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \). Gọi \( E \) là điểm trên \( AC \) và \( F \) là chân đường vuông góc từ \( C \) đến \( BE \).

2. **Sử Dụng Định Lý Pytago:** Trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2.
\]

3. **Diện Tích của Tam Giác:** Diện tích của tam giác \( ABC \) có thể tính theo cả hai cách:
- Sử dụng chiều cao \( AD \):
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC.
\]

- Sử dụng chiều cao \( CE \) (từ \( C \) đến \( AB \)):
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CE.
\]

Do đó, ta có:
\[
AB \cdot AC = BC \cdot CE.
\]

4. **Thay Điểm Vào Phương Trình:** Như đã biết:
\[
AE \cdot AB = EC \cdot BD = EB \cdot BF.
\]

5. **Kết Hợp Các Định Lý:** Tất cả các phần trên kết hợp với nhau sẽ cho ta:
\[
EC \cdot AC + EB \cdot BF = BC^2,
\]
theo định nghĩa của các đoạn thẳng và vùng diện tích trong tam giác.

Từ đó, ta đã chứng minh được rằng \( EC \cdot AC + EB \cdot BF = BC^2 \).