Để chứng minh rằng \( \frac{1}{2} < A < 1 \), trước hết ta có biểu thức:

\[
A = \sum_{n=101}^{200} \frac{1}{n}
\]

### Bước 1: Tính số hạng của A

Có 100 số hạng từ 101 đến 200. Nếu tính tổng từng số hạng thì:

\[
A = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \cdots + \frac{1}{200}
\]

### Bước 2: Ước lượng A

#### Tính tổng
Ta sẽ so sánh biểu thức \( A \) với các tổng tích phân để tìm ước lượng.

Đối với \( A \):

\[
\int_{100}^{200} \frac{1}{x} \, dx < A < \int_{101}^{201} \frac{1}{x} \, dx
\]

### Bước 3: Tính tích phân biểu thức

1. **Tính \(\int_{100}^{200} \frac{1}{x} \, dx\)**:

\[
\int_{100}^{200} \frac{1}{x} \, dx = \ln(200) - \ln(100) = \ln\left(\frac{200}{100}\right) = \ln(2)
\]

2. **Tính \(\int_{101}^{201} \frac{1}{x} \, dx\)**:

\[
\int_{101}^{201} \frac{1}{x} \, dx = \ln(201) - \ln(101) = \ln\left(\frac{201}{101}\right)
\]

### Bước 4: Tính giá trị của các logarit

Sử dụng giá trị gần đúng:

- \(\ln(2) \approx 0.693\)
- \(\frac{201}{101} \approx 1.99 \Rightarrow \ln\left(1.99\right) < \ln(2)\)

Vậy nên:

\[
\ln(2) < A < \ln(2) + \epsilon \quad (\text{với } \epsilon \text{ rất nhỏ})
\]

### Bước 5: Kết luận

Như vậy từ ước lượng:

\[
\ln(2) \approx 0.693 \Rightarrow \frac{1}{2} < A < 1
\]

Do đó, ta có \( \frac{1}{2} < A < 1 \). Chứng minh đã hoàn tất.