Để giải bài toán, chúng ta sẽ tính từng biểu thức được cho.

**1. Tính:**
\[
\frac{1 - \frac{x}{x + x^2 - 1}}{x - \frac{1}{x}}
\]

Bước 1: Rút gọn phân số trong biểu thức.

Phân số trong dấu ngoặc là:
\[
1 - \frac{x}{x + x^2 - 1}
\]
Chúng ta có thể viết lại:
\[
= \frac{(x + x^2 - 1) - x}{x + x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x + x^2 - 1}
\]

Bước 2: Rút gọn mẫu số:
\[
x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}
\]

Bây giờ chúng ta có:
\[
\frac{\frac{x^2 - 1}{x + x^2 - 1}}{\frac{x^2 - 1}{x}} = \frac{x^2 - 1}{x + x^2 - 1} \cdot \frac{x}{x^2 - 1}
\]

Bước 3: Rút gọn:
Nếu \(x^2 - 1 \neq 0\) (tức là \(x \neq 1\) và \(x \neq -1\)), chúng ta có thể rút gọn:
\[
= \frac{x}{x + x^2 - 1}
\]

**2. Tính:**
\[
(1 + \frac{1}{x}) \cdot \frac{6x}{x^2 - 1}
\]
Bước 1: Thực hiện phép nhân:
\[
= \frac{6x}{x^2 - 1} + \frac{6}{x(x^2 - 1)}
\]

Chúng ta có thể viết lại:
\[
= \frac{6x^2 + 6}{x(x^2 - 1)}
= \frac{6(x^2 + 1)}{x(x^2 - 1)}
\]

**3. Tính:**
\[
(3 + \frac{1}{x}) \cdot \frac{9}{9x^2 - 1}
\]
Bước 1: Thực hiện phép nhân:
\[
= \frac{27}{9x^2 - 1} + \frac{9}{x(9x^2 - 1)}
\]

Bước 2: Viết dưới dạng phân số chung:
\[
= \frac{27x + 9}{x(9x^2 - 1)} = \frac{9(3x + 1)}{x(9x^2 - 1)}
\]

Như vậy, kết quả cuối cùng cho các biểu thức là:
1. \( \frac{x}{x + x^2 - 1} \) (với giả thiết \( x \neq 1, x \neq -1 \))
2. \( \frac{6(x^2 + 1)}{x(x^2 - 1)} \)
3. \( \frac{9(3x + 1)}{x(9x^2 - 1)} \)