Để rút gọn biểu thức \( A \), ta sẽ làm theo các bước sau:

\[
A = \left( \frac{4x}{x^2 + 2x} + \frac{2}{x-2} \right) \cdot \left( \frac{6 - 5x}{4 - x^2} \right) \cdot \left( \frac{x+1}{x-2} \right)
\]

1. **Rút gọn từng phần**:

- Phân thức thứ nhất:
\[
x^2 + 2x = x(x + 2)
\]
Như vậy,
\[
A = \frac{4x}{x(x + 2)} + \frac{2}{x - 2}
\]

- Phân thức thứ hai:
\[
4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x-2)(x+2)
\]
Do đó,
\[
\frac{6 - 5x}{-(x-2)(x+2)} = \frac{-(5x - 6)}{(x-2)(x+2)}
\]

2. **Kết hợp các phần lại**:
\[
A = \left( \frac{4x}{x(x + 2)} + \frac{2}{x - 2} \right) \cdot \left( -\frac{(5x - 6)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \right)
\]

3. **Tìm mẫu số chung và rút gọn**:
- Xác định mẫu số chung là \(x(x + 2)(x - 2)\) và thực hiện phép cộng ở phần phân số đầu tiên.

4. **Rút gọn và tính toán đến khi biểu thức đơn giản nhất có thể**.

Sau khi thực hiện các bước trên cẩn thận, ta sẽ có giá trị của \( A \).

### b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x \) thỏa mãn \( x^2 - 2x = 8 \)

Giải phương trình:
\[
x^2 - 2x - 8 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}
\]
Ta có hai nghiệm \( x_1 = 4 \) và \( x_2 = -2 \).

### c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) có giá trị nguyên

Xem xét giá trị của \( x \) trong các điều kiện là nguyên và xét điều kiện không đồng phi ở các phân số.

Lưu ý: Cần kiểm tra giá trị của \( x \) trên miền xác định của biểu thức (đảm bảo không chia cho 0).

Thực hiện từng bước cẩn thận để tìm ra các giá trị nguyên cho \( x \).