Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{x^2 + x}{x^3 + x^2 + x + 1} + \frac{1}{x^2 + 1} \), ta thực hiện các bước sau:

### 1. Rút gọn từng thành phần
**Phân tích mẫu số**:

- Mẫu số \( x^3 + x^2 + x + 1 \) có thể viết lại thành:

\[
x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)(x + 1)
\]

Vì \( x^2 + 1 \) không có nghiệm thực, nên có thể giữ nguyên.

### 2. Thay thế
Biểu thức trở thành:

\[
P = \frac{x^2 + x}{(x^2 + 1)(x + 1)} + \frac{1}{x^2 + 1}
\]

### 3. Quy đồng mẫu
Quy đồng mẫu hai phân số trong biểu thức trên:

\[
P = \frac{x^2 + x + 1(x + 1)}{(x^2 + 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + x + 1}{(x^2 + 1)(x + 1)}
\]
\[
= \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x + 1)}
\]

### 4. Rút gọn biểu thức
Chia \( x^2 + 2x + 1 \) ra thành nhân tử:

\[
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
\]

Vì vậy, ta có:

\[
P = \frac{(x + 1)^2}{(x^2 + 1)(x + 1)}
\]

### 5. Rút gọn cuối cùng
Ta có thể rút gọn \( (x + 1) \):

\[
P = \frac{x + 1}{x^2 + 1}
\]

### 6. Tính giá trị tại \( x = 1 \)
Bây giờ ta tính giá trị của \( P \) tại \( x = 1 \):

\[
P(1) = \frac{1 + 1}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1
\]

### Kết quả
Vậy kết quả cho bài toán:

a) Biểu thức rút gọn là \( P = \frac{x + 1}{x^2 + 1} \)

b) Giá trị của biểu thức \( P \) tại \( x = 1 \) là \( 1 \).