Để tìm cực trị (min, max) của hàm \( F(x) = \frac{2x - 1}{x^2 + 2} \), chúng ta cần tính đạo hàm và tìm các điểm tới hạn.

1. **Tính đạo hàm của F:**
Sử dụng quy tắc chia (quy tắc thương):
\[
F'(x) = \frac{(x^2 + 2)(2) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2}
\]

Tính từng phần:
- Tử số:
\[
(x^2 + 2)(2) - (2x - 1)(2x) = 2x^2 + 4 - (4x^2 - 2x) = 2x^2 + 4 - 4x^2 + 2x = -2x^2 + 2x + 4
\]
Do đó:
\[
F'(x) = \frac{-2x^2 + 2x + 4}{(x^2 + 2)^2}
\]

2. **Tìm các điểm tới hạn:**
Để tìm điểm tới hạn, ta giải phương trình \( F'(x) = 0 \):
\[
-2x^2 + 2x + 4 = 0
\]

Chia cả phương trình cho -2, ta có:
\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

Phương trình này có thể phân tích thành:
\[
(x - 2)(x + 1) = 0
\]
Do đó, các điểm tới hạn là:
\[
x = 2 \quad \text{và} \quad x = -1
\]

3. **Kiểm tra sự biến thiên tại các điểm tới hạn:**
Ta có thể sử dụng bảng dấu hoặc tính \( F''(x) \) để xác định cực trị tại các điểm này. Nhưng trước tiên, ta sẽ tính giá trị của hàm \( F \) tại các điểm tới hạn:
- Tại \( x = 2 \):
\[
F(2) = \frac{2(2) - 1}{(2)^2 + 2} = \frac{4 - 1}{4 + 2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

- Tại \( x = -1 \):
\[
F(-1) = \frac{2(-1) - 1}{(-1)^2 + 2} = \frac{-2 - 1}{1 + 2} = \frac{-3}{3} = -1
\]

4. **Xét giới hạn khi \( x \to \pm \infty \):**
Khi \( x \to \infty \):
\[
F(x) \to \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} \to 0
\]
Khi \( x \to -\infty \):
\[
F(x) \to \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} \to 0
\]

5. **Kết luận:**
- Giá trị cực tiểu là:
\[
F(-1) = -1
\]

- Giá trị cực đại là:
\[
F(2) = \frac{1}{2}
\]

Vậy:
- Giá trị cực tiểu (min) của hàm là \(-1\) tại \(x = -1\).
- Giá trị cực đại (max) của hàm là \(\frac{1}{2}\) tại \(x = 2\).