Vì BC là đường kính của đường tròn (O) và D, E thuộc đường tròn, nên góc BDC và góc BEC là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
Suy ra góc BDC = 90° và góc BEC = 90°.
Xét tứ giác ADHE:
Tứ giác ADHE có góc ADH = 90° và góc AEH = 90°.
Suy ra tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn.
Góc DHE là góc ngoài tại đỉnh H của tứ giác nội tiếp ADHE, nên góc DHE = góc BAC = 60°.
Xét tứ giác BDEC:
Tứ giác BDEC có góc BDC = 90° và góc BEC = 90°.
Suy ra tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
Góc BDE = góc BCE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE).
Góc CED = góc CBD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD).
Xét tam giác ODE:
Tam giác ODE có OD = OE (bán kính đường tròn).
Suy ra tam giác ODE cân tại O.
Góc ODE = góc OED.
Tính góc DOE:
Góc DOE là góc ở tâm chắn cung DE.
Góc DHE = 60° (chứng minh trên).
Góc DOE = 2 * góc DHE = 2 * 60° = 120°.
Kết luận:
Góc DOE = 120°.