Để chứng minh bất đẳng thức \( AB + HB < AC + HC \) trong tam giác \( ABC \) với \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác cũng như mối quan hệ giữa các cạnh và góc.

1. **Giả thiết và định nghĩa**:
- Giả thiết là \( \angle C < \angle B < 90^\circ \).
- Ta có các đoạn thẳng: \( AB \), \( AC \), \( HB \), \( HC \).

2. **Dựa vào góc**:
Từ giả thiết \( \angle C < \angle B \), ta kết luận rằng nếu hai tam giác \( AHB \) và \( AHC \) có cùng chiều cao \( AH \), thì:
\[
AB < AC.
\]
Điều này dẫn đến \( AB + HB < AC + HC \) nếu chúng ta có thể chứng minh thêm rằng \( HB < HC \).

3. **Kiểm tra mối quan hệ \( HB \) và \( HC \)**:
- Xét điểm \( H \) là chân đường cao, do đó \( H \) nằm trên đoạn thẳng \( BC \). Vì vậy, khoảng cách từ \( H \) đến \( B \) và khoảng cách từ \( H \) đến \( C \) sẽ phụ thuộc vào vị trí của các điểm này trên đường thẳng \( BC \).
- Mặc dù không biết rõ vị trí của \( N \), nhưng với \( C \) nằm giữa \( A \) và \( B \), và vì \( angle \) tại \( C \) nhỏ hơn \( angle \) tại \( B \), chúng ta có thể kết luận rằng \( HB < HC \).

4. **Kết luận bằng bất đẳng thức**:
Từ các lập luận trên, chúng ta có:
\[
AB < AC \quad \text{và} \quad HB < HC.
\]
Do đó,
\[
AB + HB < AC + HC.
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AB + HB < AC + HC \) theo yêu cầu của đề bài.