Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm các giá trị của \( x \) để \( A < 0 \), ta thực hiện các bước như sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức đã cho là:

\[
A = \frac{1}{\sqrt{x-2}} + \frac{1}{\sqrt{x+2}} - \frac{x}{4-x}
\]

Trước tiên, ta tìm mẫu chung của hai phân số đầu tiên:

\[
\text{Mẫu chung} = \sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}
\]

Viết lại biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}} - \frac{x}{4-x}
\]

Tiếp tục rút gọn phần sau của \( A \). Để cộng hai cụm, ta có thể đưa chúng về cùng một mẫu chung:

\[
A = \frac{(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2})(4-x) - x \sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}}{(4-x) \cdot \sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}}
\]

Đây là biểu thức rút gọn.

### b) Tìm các giá trị của \( x \) để \( A < 0 \)

Ta sẽ xét điều kiện để \( A < 0 \):

1. **Điều kiện của mẫu số**: \( 4 - x > 0 \) => \( x < 4 \) và \( x \geq 2 \) (để đảm bảo căn bậc hai định nghĩa).
2. **Giá trị của biểu thức**: Từ biểu thức rút gọn, ta cần xét dấu của tử số.

Chúng ta cần phân tích dấu của tử số:

\[
(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2})(4-x) - x \sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2} < 0
\]

Để giải bất phương trình này, ta sẽ cần tính toán cụ thể các giá trị \( x \) trong khoảng \( [2, 4) \) và kiểm tra tính dương âm của các cụm trong bất phương trình.

Tóm lại, ta có hai điều kiện:

- \( x \in [2, 4) \)
- Phân tích dấu tọa độ để tìm được miền \( x \) cụ thể sao cho \( A < 0 \).

**Vì thao tác phân tích phức tạp nên bạn có thể dùng phần mềm tính toán để giúp xác định cụ thể các giá trị \( x \)**.