Để tìm đa thức dư của \( f(x) \) khi chia cho \( (x-1)(x^3+1) \), trước tiên chúng ta cần biết rằng:

1. \( f(x) \) chia cho \( x-1 \) dư \( 1 \).
2. \( f(x) \) chia cho \( x^3 + 1 \) dư \( x^2 + x + 1 \).

Gọi \( f(x) = (x-1)(x^3+1)Q(x) + R(x) \), trong đó \( R(x) \) là đa thức dư mà chúng ta cần tìm, và có bậc nhỏ hơn bậc của \( (x-1)(x^3+1) \).

Bậc của \( (x-1)(x^3+1) \) là \( 1 + 3 = 4 \), do đó \( R(x) \) có thể có bậc tối đa là \( 3 \).

Giả sử \( R(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \).

Từ các điều kiện đã cho, ta có hai điều kiện:

1. \( R(1) = 1 \): Thay \( x = 1 \) vào \( R(x) \):
\[
a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 1 \implies a + b + c + d = 1.
\]

2. \( R(-1) = -1 \) (vì \( x^3 + 1 = 0 \) khi \( x = -1 \)):
\[
a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -1 \implies -a + b - c + d = -1.
\]

Bây giờ ta dùng hai điều kiện này để giải hệ phương trình.

Từ thông tin trên, ta có:

1. \( a + b + c + d = 1 \)
2. \( -a + b - c + d = -1 \)

Cộng hai phương trình trên lại:

\[
(a + b + c + d) + (-a + b - c + d) = 1 - 1 \implies 2b + 2d = 0 \implies b + d = 0 \implies d = -b.
\]

Thay \( d = -b \) vào phương trình đầu tiên:

\[
a + b + c - b = 1 \implies a + c = 1.
\]

Tiếp tục với thông tin từ \( f(x) \) chia cho \( x^3 + 1 \), ta biết rằng:

\[
R(ω) = x^2 + x + 1 \quad (\text{với} \, ω \, \text{là nghiệm của} \, x^3 + 1 = 0).
\]

Từ đó, thay nghiệm vào \( R(x) \) và tìm ra các hệ số \( a, b, c, d \).

Tóm lại, đa thức dư \( R(x) \) phải thỏa mãn các điều kiện trên và nghiệm của phương trình. Bạn cần tiếp tục điều chỉnh hệ số theo yêu cầu cụ thể hơn để tìm ra một dạng chính xác cho \( R(x) \).