Chúng ta sẽ xử lý từng phần của bài toán này bằng cách sử dụng hình vẽ và các tính chất của tam giác.

### a) Chứng minh DE/DM = DC/DA

**Hình vẽ:**

Vẽ tam giác ABC với AB = AC. Vẽ đường vuông góc với BC tại B và cắt đường vuông góc với AC tại C ở D.

- Vẽ BE vuông góc với CD tại E.
- Gọi M là giao điểm của AD và BE.

**Chứng minh:**

Xét tam giác ADE và tam giác DCE:

- Đường AD là một đường cao của tam giác ADE.
- Đoạn CD là một cạnh bên của tam giác DCE và vuông góc với AC.
- Gọi góc A = α, góc DCE = β.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên đường thẳng AD cũng là đường trung tuyến từ A.

Sử dụng định lý về tỉ số đoạn thẳng trong tam giác vuông:

\[
\frac{DE}{DM} = \frac{DC}{DA}
\]

Vì DE và DM đều vuông góc với BD, nên ta có tỉ lệ trên đúng như yêu cầu.

### b) Chứng minh MN // AB

**Chứng minh:**

Xét tam giác BDE:

- Vì N là điểm trên BD sao cho EN vuông góc với BD, nên góc ENB = 90°.
- Tương tự, MN cũng vuông góc với AB vì M nằm trên AD và EN vuông góc với BD.

Như vậy, MN và AB cùng vuông góc với một đường thẳng BD. Do đó, theo tính chất của hai đoạn thẳng vuông góc, ta có được kết luận:

\[
MN \parallel AB
\]

### c) Chứng minh ME = MB

**Chứng minh:**

Xét tam giác MBE và MDE:

- Ta có DE // AB => ME = MB (vì M nằm trên BE và DE là đường trung bình).
- Hai tam giác MBE và MDE có chung một góc tại M và đều có ME và MB là cạnh đối diện.

Áp dụng định lý về chiều dài cạnh đối diện và tỉ lệ các đoạn thẳng, ta có:

\[
ME = MB
\]

### Hình vẽ kèm

Xin lỗi, tôi không thể cung cấp hình ảnh. Tuy nhiên, bạn có thể tự vẽ hình như sau:

1. Vẽ tam giác ABC cân tại A.
2. Vẽ đường vuông góc từ B đến BC để tìm điểm D.
3. Vẽ đường vuông góc từ C đến AC cũng tìm D.
4. Từ D, vẽ BE vuông góc với CD tại E.
5. Tìm M là giao điểm của AD và BE.
6. Cuối cùng, từ E vẽ EN vuông góc với BD tại điểm N.

Hy vọng những chỉ dẫn và giải thích trên giúp bạn thực hiện và hiểu rõ hơn về bài toán này! Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào thêm, xin hãy cho tôi biết!