Để chứng minh rằng đa thức \( f(x) \) luôn có ít nhất hai nghiệm, ta bắt đầu với phương trình đã cho:

\[
x \cdot f(x + 1) = (x + 2) \cdot f(x)
\]

1. **Tính giá trị tại hai điểm:** Đặt \( x = 0 \):
\[
0 \cdot f(1) = (0 + 2) \cdot f(0) \implies 0 = 2f(0)
\]
Do đó, \( f(0) = 0 \). Như vậy, \( x = 0 \) là một nghiệm của \( f(x) \).

2. **Tính giá trị tại điểm thứ hai:** Đặt \( x = -2 \):
\[
-2 \cdot f(-1) = (-2 + 2) \cdot f(-2) \implies -2f(-1) = 0
\]
Từ đó, ta có \( f(-1) = 0 \). Điều này nghĩa là \( x = -1 \) cũng là một nghiệm của \( f(x) \).

3. **Kết luận:** Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng đa thức \( f(x) \) có ít nhất hai nghiệm: \( x = 0 \) và \( x = -1 \).

Bằng cách này, ta có thể kết luận rằng \( f(x) \) luôn có ít nhất hai nghiệm, như đã yêu cầu.