Để giải bài toán này, ta gọi độ dài của đoạn lớn là $x$ cm và đoạn nhỏ là $y$ cm. Theo đề bài, ta có:

1. Tổng chiều dài của đoạn thẳng AB là 10 cm, vì vậy:
$$x + y = 10$$

2. Tỉ số giữa đoạn lớn $x$ và đoạn AB $10$ bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ $y$ và đoạn lớn $x$:
$$\frac{x}{10} = \frac{y}{x}$$

Từ tỉ số này, ta có thể viết lại như sau:
$$x^2 = 10y$$

Giờ đây, ta có hai phương trình:
1. $x + y = 10$
2. $x^2 = 10y$

Thay đổi phương trình thứ nhất để biểu diễn $y$ theo $x$:
$$y = 10 - x$$

Thay $y$ vào phương trình thứ hai:
$$x^2 = 10(10 - x)$$
$$x^2 = 100 - 10x$$
$$x^2 + 10x - 100 = 0$$

Giải phương trình bậc hai này sử dụng công thức nghiệm:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 400}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{500}}{2}$$
$$\sqrt{500} = 10\sqrt{5} \implies x = \frac{-10 \pm 10\sqrt{5}}{2} = -5 \pm 5\sqrt{5}$$

Chỉ lấy nghiệm dương:
$$x = -5 + 5\sqrt{5}$$

Tính $y$:
$$y = 10 - x = 10 - (-5 + 5\sqrt{5}) = 15 - 5\sqrt{5}$$

Bây giờ, ta tính tỉ số:
Tỉ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ:
$$\frac{x}{y} = \frac{-5 + 5\sqrt{5}}{15 - 5\sqrt{5}}$$

Khi tính ra, ta có thể nhận thấy rằng tỉ số này sẽ có thể được giản lược tùy thuộc vào giá trị của $\sqrt{5}$.

Như vậy, tỉ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ là một giá trị cụ thể nhưng không cần thiết phải tính giá trị cụ thể của nó. Chỉ cần xác định biểu thức đã đủ cho yêu cầu của bài toán.

Giá trị của tỉ số là $\frac{-5 + 5\sqrt{5}}{15 - 5\sqrt{5}}$.