Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện như sau:

### a) Tính độ dài các đoạn MN và EF

1. **Kí hiệu chiều cao AH**: Giả sử chiều cao AH có độ dài $h$.

2. **Xác định vị trí các điểm K, I**: Ta có $AK = KI = IH = \frac{h}{3}$, nghĩa là mỗi đoạn AK, KI, IH có độ dài bằng một phần ba của chiều cao h.

3. **Xác định tỷ số chiều cao**: Gọi $H$ là điểm vuông góc từ A đến BC, bởi vì E là điểm thuộc AB và F là điểm thuộc AC trên EF, ta có:

- Đoạn EF nằm cách đoạn BC một khoảng là $h - AK = h - \frac{h}{3} = \frac{2h}{3}$.
- Đoạn MN nằm cách đoạn BC một khoảng là $h - AI = h - \frac{2h}{3} = \frac{h}{3}$.

4. **Tính tỉ lệ**: Vì EF và MN song song với BC, nên theo định lý tỷ lệ, ta có:

- Chiều dài đoạn EF so với BC là tỉ số chiều cao tương ứng:
$$\frac{EF}{BC} = \frac{distance \ from \ EF \ to \ BC}{h}$$
- Chiều dài đoạn MN:
$$\frac{MN}{BC} = \frac{distance \ from \ MN \ to \ BC}{h}$$

- Vậy:
$$EF = BC \cdot \frac{2h/3}{h} = 20 \cdot \frac{2}{3} = \frac{40}{3} \approx 13.33$$
$$MN = BC \cdot \frac{h/3}{h} = 20 \cdot \frac{1}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67$$

Do đó:
$$MN = \frac{20}{3} \text{ cm}, \quad EF = \frac{40}{3} \text{ cm}$$

### b) Tính diện tích tứ giác MNFE

1. **Diện tích tam giác ABC**: Theo đề bài, diện tích tam giác ABC là:
$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$$
cho $BC = 20$:
$$300 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h \implies h = 30$$

2. **Diện tích các phần**:
- Diện tích tứ giác MNFE sẽ được tính bằng tổng diện tích tổng BC, trừ đi các tam giác bên trên:

3. **Diện tích các tam giác**:
- Diện tích tam giác ABM là:
$$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot (h - \frac{h}{3}) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{2h}{3} = \frac{20 \cdot 20}{3} = \frac{400}{3}$$
- Diện tích tam giác ACN (tương tự như tam giác ABM):
$$S_{ACN} = \frac{400}{3}$$

4. **Tính diện tích tứ giác MNFE**:
- Diện tích tứ giác MNFE là:
$$S_{MNFE} = S_{ABC} - S_{ABM} - S_{ACN} = 300 - 2 \cdot \frac{400}{3}$$

Tính ra:
$$S_{MNFE} = 300 - \frac{800}{3} = \frac{900 - 800}{3} = \frac{100}{3} ≈ 33.33 \text{ cm}²$$

Kết quả:
- a) $MN = \frac{20}{3} \text{ cm}, EF = \frac{40}{3} \text{ cm}$
- b) $S_{MNFE} = \frac{100}{3} \text{ cm}^{2}$