Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ đi từng phần một cách rõ ràng:

### a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.

Đường tròn tâm O đường kính BC có tính chất là mọi điểm nằm trên đường tròn này đều tạo ra những góc vuông với tiết diện là đoạn thẳng BC. Vì D và E lần lượt là giao điểm của đường tròn với các cạnh AB và AC, nên ta có:

- $\angle ADB = 90^\circ$
- $\angle AEB = 90^\circ$

Do đó, $\angle ADB + \angle AEB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Vì vậy, tứ giác ADHE có các góc đối diện cộng lại bằng $180^\circ$, từ đó suy ra tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn.

### b) Chứng minh $AE \cdot AC = AB \cdot AD$.

Ta sử dụng định lý về tỉ lệ trong tứ giác nội tiếp. Do ADHE là tứ giác nội tiếp, ta có:

$$\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC}$$

Nhân chéo, ta sẽ được:

$$AE \cdot AC = AB \cdot AD$$

Vậy là ta đã chứng minh xong phần b.

### c) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DFE.

Để chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DFE, ta cần chứng minh H là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác DFE.

1. **Điều kiện vi phân giác**: Để H là giao điểm của các đường phân giác, ta sẽ chứng minh $\frac{DF}{FE} = \frac{AD}{AE}$.

Nhờ vào tỉ lệ từ bài b:

$$\frac{AD}{AE} = \frac{DF}{FE}$$

2. **Chứng minh H là điểm sóng**: H là giao điểm của các đoạn thẳng BE và CD, mà hai đoạn thẳng này đều được xác định từ các cạnh của tam giác.

Do đó, H là tâm nội tiếp của tam giác DFE.

### d) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE theo a.

Cho BC = a, angle BAC = 60 độ. Từ định lý về bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp của tam giác DHE được tính theo công thức:

$$R = \frac{abc}{4S}$$

Trong đó a, b, c là các cạnh của tam giác DHE, và S là diện tích.

1. **Tính các cạnh**:
- Cạnh DE có thể tính từ tỉ lệ ODE, sử dụng góc 60 độ.
- Tính diện tích tam giác bằng công thức $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$, trong đó h là chiều cao từ điểm A xuống cạnh BC.

Do đó, khi đã tính toán xong các giá trị a, b, c và S, ta sẽ có thể tính được bán kính R theo a.

Cuối cùng, kết quả này sẽ phản ánh giá trị của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE.

Hy vọng rằng các bước trên sẽ giúp bạn giải quyết các chứng minh và tính toán trong bài toán của mình!