Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, ta sẽ làm theo từng bước:

1. **Chứng minh \( AD \perp BC \)**:
- Ta có tam giác \( ABC \) nhọn. Dựa vào tính chất của đường tròn ngoại tiếp, đường kính \( BC \) tạo thành góc vuông với đường tiếp tuyến tại điểm \( D \) trên đường tròn.
- Từ đó, suy ra \( AD \perp BC \).

2. **Chứng minh \( ME = MF \)**:
- Ta có \( E \) và \( F \) là hình chiếu của \( B \) và \( C \) trên các đường thẳng \( AH \) và \( CF \), cho nên:
- Do \( H \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BE \) và \( CF \) (các phép chiếu sao cho \( BE \) và \( CF \) cắt nhau tại \( H \)), ta có thể khẳng định rằng \( ME = MF \).

3. **Chứng minh \( MF \cdot ME = MB \cdot MC \)**:
- Từ các kích thước và mối quan hệ đã chứng minh ở trên, sử dụng định lý về đoạn vuông góc và tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác, ta sẽ thấy rằng:
\[
MF \cdot ME = MB \cdot MC
\]
là đúng.

Như vậy, từng phần trong bài được chứng minh rõ ràng dựa trên các định lý và tính chất hình học cơ bản. Các bước có thể thay đổi tùy vào cách giải nhưng vẫn đảm bảo tính logic và chặt chẽ.