Để giải bài toán trong tam giác ABC vuông tại A với đường phân giác BE, ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh HE ⊥ BC

1. Trong tam giác vuông ABC, theo định nghĩa, BE là đường phân giác, nên ta có:
$$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC}$$
từ đó suy ra rằng:
$$\frac{BH}{HE} = \frac{AB}{AC}$$

2. Do A là góc vuông, nên HE là đường vuông góc với BC (bởi vì BE chia đôi góc A và HE nằm cùng phía với BC).

### b) Chứng minh BE là đường trung trực của AH

1. Để chứng minh BE là đường trung trực của AH, ta cần chứng minh rằng BH = AH và BE ⊥ AH.

2. Bằng cách sử dụng định nghĩa đường phân giác và tam giác vuông tại A:
$$BH = AB \quad \text{và} \quad AH = AC$$
Do đó, BE sẽ chia AH thành hai đoạn bằng nhau.

### c) Gọi K là giao điểm của tia BA và tia HE, chứng minh ΔAKE = ΔHCE

1. Xét ΔAKE và ΔHCE, ta có các cặp cạnh bằng nhau:
- AK = HC (bởi vì BE là phân giác)
- HE = HE (đoạn chung)
- AE = EC (từ giả thiết cho rằng BH = AB)

2. Bởi vì có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau (tức là HE), ta kết luận rằng:
$$ΔAKE ≅ ΔHCE$$

### d) Chứng minh AE < EC

1. Xét ΔABE và ΔCEB, với AB < AC trong tam giác vuông.

2. Nếu BE là đường phân giác, thì AE < EC sẽ được chứng minh theo định lý của đường phân giác:
$$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{AC}$$

3. Do AB < AC, do đó AE < EC.

### Kết luận:
Tất cả các điều đề xuất đều đã được chứng minh dựa trên tính chất của tam giác vuông, đường phân giác và các định lý liên quan. Nếu có câu hỏi nào thêm, bạn cứ hỏi nhé!