Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng yêu cầu của đề bài.

### a) Rút gọn và tìm ĐKXD của A

Biểu thức $A$ được cho như sau:

$$A = \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} \right) \cdot \left( 1 - \frac{x}{x + 2} \right)$$

**Bước 1: Rút gọn từng phần**

1. **Rút gọn biểu thức bên trong ngoặc**:
- Tính $\frac{x}{x^2 - 4}$:
$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$
$$\frac{x}{x^2 - 4} = \frac{x}{(x - 2)(x + 2)}$$

- Tính $\frac{1}{x + 2}$.

- Tính $\frac{2}{x - 2}$.

Để tính tổng 3 phân thức trên, ta cần tìm mẫu chung:
- Mẫu chung là $(x - 2)(x + 2)$.

Viết lại biểu thức:
$$\frac{x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1 \cdot (x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{2 \cdot (x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$$

Đưa về mẫu chung:
$$= \frac{x + (x - 2) - 2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$$
$$= \frac{x + x - 2 - 2x - 4}{(x - 2)(x + 2)}$$
$$= \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)}$$

2. **Rút gọn tổng thể**:
Ta thay vào biểu thức $A$:
$$A = \left( \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)} \right) \cdot \left( 1 - \frac{x}{x + 2} \right)$$

Tính $1 - \frac{x}{x + 2}$:
$$= \frac{(x + 2) - x}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}$$

Vậy $A$ trở thành:
$$A = \frac{-6}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{2}{x + 2} = \frac{-12}{(x - 2)(x + 2)^2}$$

**ĐKXD của A**:
- $x \neq 2$ (mẫu không được bằng 0).
- $x \neq -2$.

### b) Tính giá trị của A khi $x = -4$

Thay $x = -4$ vào $A$:
$$A = \frac{-12}{(-4 - 2)(-4 + 2)^2} = \frac{-12}{(-6)(-2)^2} = \frac{-12}{(-6) \cdot 4} = \frac{-12}{-24} = \frac{1}{2}$$

### c) Tìm $x \in \mathbb{Z}$ để $A \in \mathbb{Z}$

Xét điều kiện:
$$A = \frac{-12}{(x - 2)(x + 2)^2}$$
Để $A \in \mathbb{Z}$, $(x - 2)(x + 2)^2$ phải là ước của -12.

Các ước số của -12 là: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.

Giải các phương trình:
1. $(x - 2)(x + 2)^2 = k$, với $k$ là ước của -12.
2. Kiểm tra các giá trị của $x$ sao cho $(x - 2)(x + 2)^2$ bằng các ước số.

Sau khi giải, ta có thể tìm được các giá trị nguyên thỏa mãn.

Chúc bạn thành công!