Để tìm giá trị của $x$ khi $A = 2B$, trước tiên chúng ta cần thay thế các biểu thức $A$ và $B$ đã cho vào phương trình.

Có:

$$A = \left( \frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 2}{x - 1} \right) \cdot \frac{x + 1}{x}$$

$$B = \frac{3}{x^2 - 1}$$

Và theo yêu cầu, chúng ta cần giải phương trình:

$$A = 2B$$

Điều này tương đương với:

$$\left( \frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 2}{x - 1} \right) \cdot \frac{x + 1}{x} = 2 \cdot \frac{3}{x^2 - 1}$$

Trước tiên, chúng ta sẽ đơn giản hóa biểu thức $A$:

$$\frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{(x + 2)(x - 1) - (x - 2)(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}$$

Tính tử số:

$$(x + 2)(x - 1) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$$
$$(x - 2)(x + 1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$$

Vậy tử số sẽ là:

$$(x^2 + x - 2) - (x^2 - x - 2) = x + x = 2x$$

Do đó, ta có:

$$\frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{2x}{(x + 1)(x - 1)}$$

Thay vào biểu thức $A$:

$$A = \frac{2x}{(x + 1)(x - 1)} \cdot \frac{x + 1}{x} = \frac{2x}{(x - 1)}$$

Bây giờ, thay $A$ và $B$ vào phương trình $A = 2B$:

$$\frac{2x}{x - 1} = 2 \cdot \frac{3}{x^2 - 1}$$

Giải phương trình này:

$$\frac{2x}{x - 1} = \frac{6}{x^2 - 1}$$

Chúng ta nhân chéo:

$$2x(x^2 - 1) = 6(x - 1)$$

Giải phóng phương trình:

$$2x^3 - 2x = 6x - 6$$

Sắp xếp lại:

$$2x^3 - 8x + 6 = 0$$

Chia cả phương trình cho 2:

$$x^3 - 4x + 3 = 0$$

Để tìm nghiệm của phương trình bậc ba này, ta có thể thử nghiệm giá trị nguyên. Thử với $x = 1$:

$$1^3 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$$

Vậy $x = 1$ là một nghiệm. Sử dụng phép phân tích đa thức, ta có:

$$(x - 1)(x^2 + x - 3) = 0$$

Để giải phương trình bậc hai $x^2 + x - 3 = 0$:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$$x = 1, x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$$

Cuối cùng, các giá trị của $x$ để $A = 2B$ là:

$$x = 1, \, x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, \, x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$$