Gọi thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là $x$ giờ. Khi đó, vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể trong $x - 4$ giờ.

Tốc độ chảy đầy bể của vòi thứ hai là $\frac{1}{x}$ bể/giờ, và của vòi thứ nhất là $\frac{1}{x-4}$ bể/giờ.

Khi hai vòi chảy cùng nhau, tổng tốc độ chảy sẽ là:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-4}$$

Theo đề bài, hai vòi này cùng chảy vào bể trong 5 giờ 50 phút, tức là $\frac{35}{6}$ giờ.

Vậy tổng lượng nước chảy vào bể khi cả hai vòi hoạt động là:

$$\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-4} \right) \cdot \frac{35}{6} = 1 \quad \text{(đầy bể)}$$

Ta có phương trình:

$$\frac{35}{6} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-4} \right) = 1$$

Giải phương trình này:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-4} = \frac{6}{35}$$

Tìm mẫu chung:

$$\frac{(x - 4) + x}{x(x - 4)} = \frac{6}{35}$$

Sắp xếp lại:

$$\frac{2x - 4}{x(x - 4)} = \frac{6}{35}$$

Giải phương trình:

$$35(2x - 4) = 6x(x - 4)$$

Mở rộng:

$$70x - 140 = 6x^2 - 24x$$

Sắp xếp lại thành phương trình bậc hai:

$$6x^2 - 94x + 140 = 0$$

Áp dụng công thức nghiệm bậc hai:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Với $a = 6, b = -94, c = 140$:

$$x = \frac{94 \pm \sqrt{(-94)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 140}}{2 \cdot 6}$$

Tính trong căn:

$$b^2 - 4ac = 8836 - 3360 = 5476$$

$\sqrt{5476} = 74$:

$$x = \frac{94 \pm 74}{12}$$

Hai nghiệm:

1. $x = \frac{168}{12} = 14$
2. $x = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ (bỏ vì không hợp lý)

Vậy, vòi thứ hai chảy đầy bể trong $14$ giờ. Vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể trong:

$$x - 4 = 14 - 4 = 10 \text{ giờ}.$$

Tóm lại:

- Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 10 giờ.
- Vòi thứ hai chảy đầy bể trong 14 giờ.