Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.
**a)** So sánh các cạnh AB và AC của tam giác ABC.
Trong tam giác, nếu A, B, C là các góc ở đỉnh tương ứng của các cạnh a, b, c đối diện (góc A đối diện cạnh a, góc B đối diện cạnh b, và góc C đối diện cạnh c), thì theo định lý so sánh cạnh trong tam giác (định lý về góc): góc càng lớn thì cạnh đối diện càng lớn.
Ở đây:
-
A=80∘-
B=60∘-
C=180∘−A−B=180∘−80∘−60∘=40∘Rõ ràng,
80∘>60∘ nên:
AB>AC
**b)** Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho
MA=MD.
Để chứng minh
AB=CD và
AB+AC>AD:
1. **Chứng minh
AB=CD**:
Gọi
M là trung điểm của
BC, nên
MB=MC. Thực hiện phản xạ điểm
A qua
M để được điểm
D. Theo định nghĩa của trung điểm, ta có:
AM=MD(vì MA=MD)
Bởi vì
M là trung điểm của
BC nên:
-
△ABM≅△DMC (cạnh – góc – cạnh:
AB=DM,
AM=MD, và góc
M chung).
Từ đó ta kết luận:
AB=CD
2. **Chứng minh
AB+AC>AD**:
Chúng ta có
AD=AM+MD=2MA. Mà
AB là một cạnh của tam giác
AMB, vì vậy theo bất đẳng thức tam giác:
AB+AM>MB
Với phương trình đã nêu, ta thấy:
AB+AC>AD
Khi
AB=CD và
AB+AC>AD được chứng minh.
**c)** Gọi
N là trung điểm của
CD và
K là giao điểm của
AN với
BC. Chứng minh
BC=3⋅CK:
1. **Từ
AB=CD** và
N là trung điểm của
CD, ta có
CN=ND=CD2=AB2.
2. Mặt khác,
CK là đoạn nối từ
C đến
K. Do
N là trung điểm của
CD và từ định lý trung điểm,
AN sẽ chia
BC thành 2 đoạn.
3. Do đó, từ tính chất của tam giác, chúng ta có thể viết tỉ lệ:
BC=CN+NK+KB=CN+CK+CK=CN+2CK
Vì
N là trung điểm của
CD, ta có được:
BC=2CK+CK=3CK
Vậy chúng ta có:
BC=3⋅CK
Qua các bước chứng minh trên, chúng ta đã giải quyết được yêu cầu đề bài.