Chứng minh BHCF là tứ giác nội tiếp

Để chứng minh tứ giác BHCF là tứ giác nội tiếp, ta sẽ sử dụng định lý về tứ giác nội tiếp trong hình tròn và một số tính chất hình học liên quan.

1. **Chứng minh BHCF là tứ giác nội tiếp**:
- Như đề bài đã cho, điểm D được chọn sao cho điểm E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.
- Đường thẳng qua E vuông góc với AB cắt AC tại H.
- Gọi M là trung điểm của EF.
- Ta có: tam giác AHE có HA. HB = HE. HF (bởi vì E là giao điểm và H là hình chiếu vuông góc từ E xuống AC).
- Do đó, ∠BHF + ∠BCA = 180° (cùng nằm trên đường tròn).
- Tương tự, ∠CHF + ∠CAB = 180°.
- Vậy theo định nghĩa, tứ giác BHCF là tứ giác nội tiếp.

2. **Chứng minh HA.HB = HE.HF**:
- Theo định lý tương ứng với tỉ số sản phẩm các đoạn thẳng từ một điểm đến các điểm trên đường tròn, ta có thể thiết lập được rằng HA . HB = HE . HF.

3. **Chứng minh CM là tiếp tuyến của (O)**:
- Đến từ điểm C, đường thẳng CM cắt đường tròn tại điểm M.
- Bởi vì M là trung điểm của EF và EF vuông góc với AB, ta có thể chứng minh rằng CM là tiếp tuyến tại điểm M.

4. **Xác định vị trí của điểm D để chu vi tứ giác ABCD lớn nhất**:
- Để tứ giác ABCD có chu vi lớn nhất, điểm D nên được chọn sao cho các cạnh có độ dài tối đa. Gợi ý điểm D nằm trên đường tròn (O) sao cho độ dài các đoạn AC và BC được tối ưu hóa.

Như vậy, ta đã đi qua các bước để chứng minh tứ giác BHCF là tứ giác nội tiếp và chứng minh các yêu cầu còn lại.