Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện từng bước như sau:
### a) Tính độ dài BC
Trong tam giác vuông ABC, chúng ta có:
-
AB=5.4cm-
AC=7.2cmÁp dụng định lý Pythagore:
BC=√AC2−AB2=√7.22−5.42
Tính toán:
7.22=51.84và5.42=29.16
BC=√51.84−29.16=√22.68≈4.76cm
### b) Chứng minh ΔEMB // ΔCAB
1. Từ điểm M (trung điểm của BC), vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AC tại H và AB tại E.
2. Do AB vuông góc với AC nên góc ABE và góc AHF cũng vuông góc với BC.
3. Do M là trung điểm của BC, ta có:
- EM // AB (vì EM vuông góc với BC)
- MB = BC/2
Từ đó, ta có hai tam giác ΔEMB và ΔCAB có góc tương ứng:
- ΔEMB có góc EMB = góc CAB
- ΔEMB có cạnh MB // AC
Suy ra, ΔEMB // ΔCAB.
### c) Chứng minh HA·HC = HM·HE
1. Ta có điểm H trên AC và E trên AB.
2. Vì ΔEMB // ΔCAB, theo tỉ lệ cạnh tương ứng, ta có:
HAHC=HMHE
3. Từ đó, nhân chéo, ta có:
HA⋅HE=HM⋅HC
Chứng minh là xong.
### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán: độ dài BC, tính chất song song của các tam giác và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.