Để giải bài tập này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

### 1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 36 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{x - 5}{\sqrt{x}}
\]
Thay \( x = 36 \) vào biểu thức:
\[
A = \frac{36 - 5}{\sqrt{36}} = \frac{31}{6}
\]

### 2) Rút gọn biểu thức \( B \)

Biểu thức \( B \) là:
\[
B = \frac{2x + 2\sqrt{x}}{x - 1}
\]
Ta có thể rút gọn như sau:
\[
B = \frac{2(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{x - 1}
\]

### 3) Tìm tất cả giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( P = A \cdot B \) có giá trị nguyên.

Từ phần 2, biết rằng:
\[
P = A \cdot B = \frac{31}{6} \cdot \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{x - 1}
\]
Ta muốn \( P \) là số nguyên.

Để \( P \) là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số \( x - 1 \). Với \( \sqrt{x} \) là một số nguyên thì \( x \) phải là một số chính phương.

Gọi \( n = \sqrt{x} \), do đó \( x = n^2 \), và ta cần kiểm tra:
\[
n^2 - 1 \text{ phải chia hết cho } \frac{31}{3}
\]
Vì vậy:
\[
31 \text{ phải chia hết cho } n^2 - 1
\]

Nếu \( n \) là một số nguyên nào đó, ta sẽ kiểm tra dựa vào các giá trị của \( n \) để thu được kết quả \( P \) là số nguyên.

Cuối cùng, ta phải tính các giá trị \( n \) từ 1 trở đi để tìm \( x \).

Đến đây, bạn có thể thử với các giá trị của \( n \) như 1, 2, 3, ... cho đến khi có kết quả thỏa mãn yêu cầu.