Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

### a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \( D \)

Biểu thức \( D \) được cho bởi:

\[
D = \left( \frac{x-4}{x^2 - 2x} + \frac{2}{x-2} \right) \cdot \left( \frac{x+2}{x} - \frac{x}{x-2} \right)
\]

- **Điều kiện xác định**:
- Tử số và mẫu số không được bằng 0.
- \( x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0 \) và \( x \neq 2 \).
- \( x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 \).
- \( x \neq 0 \) từ mẫu số của phần thứ hai.

Kết luận: \( x \neq 0 \) và \( x \neq 2 \).

- **Rút gọn**:
- Tính biểu thức \( \frac{x-4}{x^2-2x} + \frac{2}{x-2} \):

\[
x^2 - 2x = x(x-2)
\]

Lấy mẫu chung là \( x(x-2) \):

\[
\frac{x-4}{x(x-2)} + \frac{2x}{x(x-2)} = \frac{x-4 + 2x}{x(x-2)} = \frac{3x - 4}{x(x-2)}
\]

- Tính phần còn lại:

\[
\frac{x+2}{x} - \frac{x}{x-2} \, \text{với mẫu chung} \, x(x-2)
\]

\[
= \frac{(x+2)(x-2) - x^2}{x(x-2)} = \frac{x^2 - 4 - x^2}{x(x-2)} = \frac{-4}{x(x-2)}
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
D = \left( \frac{3x - 4}{x(x-2)} \right) \cdot \left( \frac{-4}{x(x-2)} \right) = \frac{-4(3x-4)}{x^2(x-2)^2}
\]

### b) Tìm \( x \) để \( D > 0 \)

- Biểu thức \( D \) sẽ dương khi \( -4(3x-4) > 0 \) tức là \( 3x - 4 < 0 \) hay \( x < \frac{4}{3} \).
- Kết hợp với điều kiện xác định ta có \( 0 < x < \frac{4}{3} \).

### c) Tính giá trị của \( D \) biết \( |4 - x| = 2 \)

Giải phương trình:

\[
4 - x = 2 \implies x = 2 \quad \text{hoặc} \quad 4 - x = -2 \implies x = 6
\]

Xét với điều kiện \( x \neq 0 \) và \( x \neq 2 \). Vậy chỉ có \( x = 6 \) hợp lệ.

Tính \( D(6) \):

\[
D(6) = \frac{-4(3 \cdot 6 - 4)}{6^2(6-2)^2} = \frac{-4(18 - 4)}{36 \cdot 16} = \frac{-4 \cdot 14}{576} = \frac{-56}{576} = \frac{-7}{72}
\]

### d) Với giá trị nào của \( x \) thì giá trị của \( D \) là số nguyên âm lớn nhất?

Ta cần tìm \( x \) sao cho \( D \) âm (biểu thức đã tính là âm). Ta tìm giá trị lớn nhất cho \( x \) với \( D < 0 \).

- Từ \( D < 0 \), ta đã có điều kiện \( x < \frac{4}{3} \). Giá trị nguyên lớn nhất dưới \( \frac{4}{3} \) là \( 1 \).

Kết quả cuối cùng:
- **a)** \( x \neq 0, 2 \)
- **b)** \( 0 < x < \frac{4}{3} \)
- **c)** \( D(6) = \frac{-7}{72} \)
- **d)** Giá trị nguyên âm lớn nhất là \( -1 \).