Để tính số đo góc \( BMC \) trong hình thang \( ABCD \) với các thông số đã cho, ta làm theo các bước sau:

1. **Xác định tọa độ của các điểm:**
- Giả sử điểm \( A(0, 0) \) và \( B(10, 0) \) (do \( AB = 10 \) cm).
- Điểm \( D(0, 35) \) (do \( AD = 35 \) cm).
- Điểm \( C(30, 35) \) (do \( CD = 30 \) cm, chiều rộng của hình thang).

2. **Xác định tọa độ điểm \( M \):**
- Điểm \( M \) nằm trên đoạn \( AD \) với \( AM = 15 \) cm, do đó tọa độ của \( M \) sẽ là \( (0, 15) \).

3. **Tính vectơ \( \overrightarrow{BM} \) và \( \overrightarrow{CM} \):**
- \( \overrightarrow{BM} = M - B = (0, 15) - (10, 0) = (-10, 15) \)
- \( \overrightarrow{CM} = M - C = (0, 15) - (30, 35) = (-30, -20) \)

4. **Tính số đo góc \( BMC \) bằng cách sử dụng công thức vô hướng:**
- Độ dài \( |\overrightarrow{BM}| = \sqrt{(-10)^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13} \)
- Độ dài \( |\overrightarrow{CM}| = \sqrt{(-30)^2 + (-20)^2} = \sqrt{900 + 400} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13} \)

5. **Điểm góc giữa hai vectơ:**
- Tính tích vô hướng của hai vectơ:
- \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = (-10)(-30) + (15)(-20) = 300 - 300 = 0 \)

6. **Kết luận:**
- Vì \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{CM} = 0 \), góc \( BMC = 90^\circ \).

Vậy số đo góc \( BMC \) là \( 90^\circ \).