Để chứng minh rằng

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}
\]

cho \( a + b + c = d \) (với \( d > 0 \)), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right) ((b+c) + (c+a) + (a+b)) \geq (a+b+c)^2
\]

Tính tổng các mẫu số trong ngoặc:

\[
(b+c) + (c+a) + (a+b) = 2(a+b+c) = 2d
\]

Vậy bất đẳng thức trở nên:

\[
\left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right) (2d) \geq (a+b+c)^2
\]

Sử dụng điều kiện \( a + b + c = d \), ta thay vào:

\[
\left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right) (2d) \geq d^2
\]

Chia hai vế cho \( 2d \) (với \( d > 0 \)):

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{d}{2}
\]

Khi \( d = a + b + c \), ứng với \( a + b + c = 3k \) cho \( k > 0 \), ta có:

\[
\frac{3k}{2}
\]

Do đó,

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức yêu cầu.