a) Rút gọn biểu thức P:

1. Phân tích các thành phần:

   • x−3x​=x​(x​−3)
   • x−9=(x​−3)(x​+3)
   • 9−x=(3−x​)(3+x​)=−(x​−3)(x​+3)
   • x+x​−6=(x​+3)(x​−2)

2. Thay các thành phần đã phân tích vào biểu thức P: $$ P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \left( \frac{-(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} + \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \right) $$

3. Rút gọn phân số đầu tiên: $$ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} $$

4. Rút gọn các số hạng trong ngoặc: $$ \frac{-(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{-(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 2} $$ $$ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \left( \frac{-(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \right) $$

5. Kết hợp hai số hạng đầu trong ngoặc: $$ \frac{-(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} = \frac{-\sqrt{x} + 3 + \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} = \frac{0}{\sqrt{x} - 2} = 0 $$

6. Thay lại vào biểu thức P: $$ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \left( 0 - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \right) $$ $$ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \left( - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \right) $$ $$ P = - \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 3)^2} $$ $$ P = - \frac{x + 2\sqrt{x}}{x + 6\sqrt{x} + 9} $$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P:

Đặt t=x​, với t≥0. Khi đó biểu thức trở thành: $$ P = - \frac{t^2 + 2t}{t^2 + 6t + 9} $$ Vì t2+6t+9=(t+3)2>0, ta có thể nhân cả hai vế với (t+3)2: $$ P(t^2 + 6t + 9) = -t^2 - 2t $$ $$ Pt^2 + 6Pt + 9P = -t^2 - 2t $$ $$ (P+1)t^2 + (6P+2)t + 9P = 0 $$ Để phương trình bậc hai theo t này có nghiệm, biệt thức phải không âm: $$ \Delta = (6P+2)^2 - 4(P+1)(9P) \ge 0 $$ $$ 36P^2 + 24P + 4 - 36P^2 - 36P \ge 0 $$ $$ -12P + 4 \ge 0 $$ $$ 4 \ge 12P $$ $$ P \le \frac{4}{12} $$ $$ P \le \frac{1}{3} $$ Vì P là một số âm (do x≥0), giá trị lớn nhất của P là −31​.

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét giới hạn của P khi x tăng. Vì x≥0, x​≥0. Tử số x+2x​≥0. Mẫu số x+6x​+9>0. Do đó, P=−x+6x​+9x+2x​​≤0. Khi x→∞, P→−1. Giá trị nhỏ nhất của P là −1.