Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí của các điểm A, B, C, D trên một đường thẳng.

- Gọi A, B, C, D nằm trên một đường thẳng theo thứ tự.
- Theo đề bài, chúng ta có:
- \( AC = 4 \) cm
- \( BD = 6 \) cm

Vì A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự, ta có thể đặt:
- \( A \) tại vị trí 0 (gốc O)
- \( C \) tại vị trí 4 cm (vì \( AC = 4 \))
- \( B \) nằm giữa A và C, nên \( AB + BC = AC \)

Giả sử \( AB = x \) và \( BC = 4 - x \).

Đồng thời, \( D \) sẽ nằm ở một khoảng cách nào đó từ \( B \), sao cho \( BD = 6 \).

Giả sử \( B \) có vị trí là \( x \) cm (từ A):
- Vậy \( D \) sẽ nằm ở vị trí \( B + 6 = x + 6 \).

Tìm tọa độ của các điểm:
- A = 0
- B = x
- C = 4 (từ A)
- D = x + 6

Đặt \( B = x \) từ A đến C, ta có \( AC = 4 \).
Với \( BD = 6 \), từ \( B \) đến \( D \) có đoạn dài 6 cm, tức là \( D = B + 6 = x + 6 \).

Tính khoảng cách giữa M và N:
- M là trung điểm của A và B: \( M = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2} \)
- N là trung điểm của C và D: \( N = \frac{4 + (x + 6)}{2} = \frac{x + 10}{2} \)

Khoảng cách MN:
\[
MN = N - M = \frac{x + 10}{2} - \frac{x}{2} = \frac{x + 10 - x}{2} = \frac{10}{2} = 5
\]

Vậy khoảng cách MN là 5 cm.