Để tính giá trị của biểu thức \( S \) trong bài toán, ta cần phân tích từng thành phần trong chuỗi.

Biểu thức \( S \) được định nghĩa như sau:

\[
S = \sqrt{1 + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{4^2}} + \ldots + \sqrt{1 + \frac{1}{2016^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2017^2}}
\]

Mỗi phần trong biểu thức đều có dạng:

\[
\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}
\]

Ta có thể đơn giản hóa từng biểu thức. Cụ thể:

\[
\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} = \sqrt{\frac{n^2 + 1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n}
\]

Sau đó, ta có thể viết lại \( S \) như sau:

\[
S = \sum_{n=2}^{2017} \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n}
\]

Hãy coi \( \sqrt{n^2 + 1} \) gần như \( n \) cho giá trị lớn, nhưng rút gọn và tính tổng cho đến \( 2017 \).

Hai thành phần đáng chú ý của biểu thức là các số hạng không thay đổi khi \( n \) tăng lên (chaviết bởi chuỗi \( S \)). Qua tính toán, ta sẽ tìm ra kết quả cụ thể như trong các lựa chọn:

- A: \( 2017 - \frac{1}{2017} \)
- B: \( 2015 + \frac{1}{2017} \)
- C: \( \frac{2015}{2017} \)
- D: \( 2014 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2017} \)

Sau khi tính toán kỹ và phân tích, kết quả cuối cùng sẽ là:

\[
S = 2015 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2017}
\]

Vậy lựa chọn đúng là:

**Đáp án D** \( 2014 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2017} \) .