Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta xác định tổng của dãy số trong dấu ngoặc.

Dãy số là:
\[
(x + 5), (x + 10), (x + 15), \ldots, (x + 60)
\]

Có thể thấy rằng, đây là một cấp số cộng với số hạng đầu là \( x + 5 \) và số hạng cuối là \( x + 60 \). Mỗi số hạng tăng thêm 5.

Đầu tiên, hãy xác định số lượng số hạng trong dãy.

Số hạng đầu là \( 5 \) và số hạng cuối là \( 60 \). Số hạng của dãy có dạng \((x + 5 + 5(n - 1)) = (x + 5 + 5n - 5) = (x + 5n)\).

Nguyên tắc là:
\[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
\]
Trong đó:
- \( a_1 = x + 5 \)
- \( a_n = x + 60 \)
- \( d = 5 \)

Suy ra:
\[
x + 60 = x + 5 + (n - 1) \cdot 5
\]
\[
60 = 5 + (n - 1) \cdot 5
\]
\[
60 - 5 = (n - 1) \cdot 5
\]
\[
55 = (n - 1) \cdot 5
\]
\[
n - 1 = \frac{55}{5}
\]
\[
n - 1 = 11 \implies n = 12
\]

Như vậy, tổng số hạng trong dãy là 12 số hạng.

Giờ chúng ta tính tổng của dãy:
\[
(x + 5) + (x + 10) + (x + 15) + \ldots + (x + 60)
\]
Sẽ tính tổng theo công thức:
\[
T_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
\]
Ở đây, \( n = 12 \):
- \( a_1 = x + 5 \)
- \( a_n = x + 60 \)

Suy ra tổng:
\[
T_{12} = \frac{12}{2} ((x + 5) + (x + 60)) = 6(2x + 65) = 12x + 390
\]

Theo đề bài, tổng này bằng \( 474 \):
\[
12x + 390 = 474
\]

Giải phương trình để tìm \( x \):
\[
12x = 474 - 390
\]
\[
12x = 84
\]
\[
x = \frac{84}{12} = 7
\]

Vậy ta có giá trị của \( x \):
\[
\boxed{7}
\]