Để giải bài tập này, ta lần lượt xem xét từng phần:

### a) Tọa độ tâm I của đường tròn (C)

Đường tròn có phương trình dạng \( x^2 + y^2 - 6x - 7 = 0 \).

Ta có thể viết lại dưới dạng chuẩn:
\[
(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 16
\]
Từ đây, ta biết rằng tọa độ tâm I là \( (3, 0) \).

### b) Đường thẳng d

Đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( (3, 0) \) và vuông góc với đường thẳng \( \Delta: 4x - 3y - 2 = 0 \).

Tần số của đường thẳng \( \Delta \) là \( \frac{4}{3} \). Đường thẳng vuông góc sẽ có hệ số góc bằng \( -\frac{3}{4} \).

Vậy phương trình đường thẳng \( d \) sẽ là:
\[
y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 3) \implies y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4}
\]

### c) Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng Δ

Để tìm khoảng cách từ điểm \( I(3, 0) \) đến đường thẳng \( 4x - 3y - 2 = 0 \), ta sử dụng công thức:

\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
Với \( A = 4, B = -3, C = -2 \) và \( (x_0, y_0) = (3, 0) \):

\[
d = \frac{|4 \cdot 3 - 3 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2
\]

### d) Parabol

Phương trình của parabol có dạng \( y^2 = 12x \). Tâm của đường tròn (C) là \( (3, 0) \). Tìm tọa độ điểm tối ưu cho parabol, ta có thể đặt \( x = 0 \) thì \( y = 0 \), và khi \( x > 0\) , thì \( y^2 = 12x \).

Với phương trình \( y^2 = 12x \) có thể áp dụng vào hình học để tìm cực trị trong trường hợp đường tròn.

### Kết luận

Nếu cần chọn đúng hoặc sai cho các phần, ta làm theo các kết luận trên:

- **a)** Đúng
- **b)** Đúng
- **c)** Đúng
- **d)** Đúng, nhưng có thể cần kiểm tra sâu hơn về hình học để hoàn thiện.

Hy vọng giúp đỡ của tôi có ích cho bạn!