Để giải bài toán này, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = (A - 4)\sqrt{x} \) với \( A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \).

Trước tiên, ta đơn giản hóa biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}.
\]

Vậy biểu thức \( P \) trở thành:

\[
P = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}} - 4\right)\sqrt{x} = (1 - 4 + \frac{1}{\sqrt{x}})\sqrt{x} = (-3 + \frac{1}{\sqrt{x}})\sqrt{x}.
\]

Tiếp theo, ta sẽ biến đổi \( P \):

\[
P = -3\sqrt{x} + 1.
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta sẽ tính đạo hàm và xét điều kiện:

\[
P' = -\frac{3}{2}x^{-1/2} \quad \text{và đặt } P' = 0.
\]

Từ đó, ta có:

\[
-\frac{3}{2\sqrt{x}} = 0.
\]

Phương trình này không có nghiệm, nhưng ta có thể khảo sát sự thay đổi của \( P \):

1. Khi \( x \to 0^+ \), \( P \to +\infty \).
2. Khi \( x \to +\infty \), \( P \to -\infty \).

Do đó, \( P \) sẽ có giá trị nhỏ nhất bên trong khoảng \( (0, +\infty) \). Ta cũng có thể xác định giới hạn của \( P \) để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giá trị nhỏ nhất của \( P \) xảy ra tại điểm mà \( A = 4 \).

Từ \( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} = 4 \), ta tìm được:

\[
\frac{1}{\sqrt{x}} = 3 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{9}.
\]

Thay vào đó cho \( P \):

\[
P = (-3 + 3)\sqrt{\frac{1}{9}} = 0.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( 0 \).