Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = a + b + c \) với các điều kiện \( a + 3c = 2018 \) và \( a + 2b + c = 2019 \), chúng ta sẽ sử dụng hai phương trình này.

**Bước 1:** Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[
a + 3c = 2018 \implies a = 2018 - 3c
\]

**Bước 2:** Thay \( a \) vào phương trình thứ hai:
\[
(2018 - 3c) + 2b + c = 2019
\]
\[
2018 - 3c + 2b + c = 2019
\]
\[
2b - 2c = 2019 - 2018
\]
\[
2b - 2c = 1 \implies b - c = \frac{1}{2} \implies b = c + \frac{1}{2}
\]

**Bước 3:** Thay \( b \) vào phương trình của \( P \):
\[
P = a + b + c = (2018 - 3c) + \left(c + \frac{1}{2}\right) + c
\]
\[
= 2018 - 3c + c + \frac{1}{2} + c = 2018 + \frac{1}{2} - c = 2018.5 - c
\]

**Bước 4:** Tối thiểu hóa \( P \):
Để \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất, \( c \) cần lớn nhất có thể thỏa mãn các điều kiện không âm:
\[
a = 2018 - 3c \geq 0 \implies 2018 \geq 3c \implies c \leq \frac{2018}{3} \approx 672.67
\]
Do đó, \( c \) lớn nhất là 672.

**Bước 5:** Tính giá trị \( P \) khi \( c = 672 \):
\[
a = 2018 - 3 \cdot 672 = 2
\]
\[
b = 672 + \frac{1}{2} = 672.5
\]
\[
P = 2 + 672.5 + 672 = 1346.5
\]

**Kết luận:**
Giá trị nhỏ nhất của \( P = a + b + c \) là \( 1346.5 \) khi \( a = 2 \), \( b = 672.5 \), và \( c = 672 \), với điều kiện \( a, b, c \) không âm đều được thỏa mãn.