Để giải phương trình: 30x−10​+43x−14​+95x−5​+8x−148​=0

Ta sẽ biến đổi mỗi phân thức để có tử số dạng (x+a).

Xét phân thức đầu tiên: 30x−10​=30x+a1​−a1​−10​=30x+a1​​−30a1​+10​

Xét phân thức thứ hai: 43x−14​=43x+a2​−a2​−14​=43x+a2​​−43a2​+14​

Xét phân thức thứ ba: 95x−5​=95x+a3​−a3​−5​=95x+a3​​−95a3​+5​

Xét phân thức thứ tư: 8x−148​=8x+a4​−a4​−148​=8x+a4​​−8a4​+148​

Để có thể đặt nhân tử chung (x+a), ta chọn a1​=a2​=a3​=a4​=a. Khi đó, phương trình trở thành: (30x+a​−30a+10​)+(43x+a​−43a+14​)+(95x+a​−95a+5​)+(8x+a​−8a+148​)=0

$$ (x+a) \left( \frac{1}{30} + \frac{1}{43} + \frac{1}{95} + \frac{1}{8} \right) - \left( \frac{a+10}{30} + \frac{a+14}{43} + \frac{a+5}{95} + \frac{a+148}{8} \right) = 0 $$

Để đơn giản, ta chọn a sao cho: 30a+10​=43a+14​=95a+5​=8a+148​

Xét hai đẳng thức đầu tiên: 30a+10​=43a+14​ 43(a+10)=30(a+14) 43a+430=30a+420 43a−30a=420−430 13a=−10 a=−1310​

Xét hai đẳng thức cuối cùng: 95a+5​=8a+148​ 8(a+5)=95(a+148) 8a+40=95a+14060 40−14060=95a−8a −14020=87a a=−8714020​

Giá trị của a không nhất quán, do đó cách chọn a như trên không phù hợp.

Ta thử một cách tiếp cận khác. Cộng một số thích hợp vào mỗi phân thức để tử số trở thành x+k với cùng một giá trị k.

30x−10​+1=30x−10+30​=30x+20​ 43x−14​+1=43x−14+43​=43x+29​ 95x−5​+1=95x−5+95​=95x+90​ 8x−148​+1=8x−148+8​=8x−140​

Cách này cũng không đưa về cùng tử số.

Ta thử cộng một số khác. 30x−10​−1=30x−10−30​=30x−40​ 43x−14​−1=43x−14−43​=43x−57​ 95x−5​−1=95x−5−95​=95x−100​ 8x−148​−1=8x−148−8​=8x−156​

Ta nhận thấy rằng nếu cộng một số k vào mỗi phân thức sao cho tử số trở thành x−40, ta cần: 43x−14​+4314−40​=43x−40​⟹k2​=43−26​ 95x−5​+955−40​=95x−40​⟹k3​=95−35​ 8x−148​+8148−40​=8x−40​⟹k4​=8108​

Xét giá trị x=40: 3040−10​+4340−14​+9540−5​+840−148​ =3030​+4326​+9535​+8−108​ =1+4326​+197​−227​=0

Ta sẽ biến đổi mỗi phân thức như sau: 30x−10​=30x+k−k−10​=30x+k​−30k+10​ 43x−14​=43x+k−k−14​=43x+k​−43k+14​ 95x−5​=95x+k−k−5​=95x+k​−95k+5​ 8x−148​=8x+k−k−148​=8x+k​−8k+148​

Phương trình trở thành: (x+k)(301​+431​+951​+81​)−(30k+10​+43k+14​+95k+5​+8k+148​)=0

Ta chọn k sao cho: 30k+10​=43k+14​=95k+5​=8k+148​=C (hằng số)

k+10=30C⟹k=30C−10 k+14=43C⟹k=43C−14 k+5=95C⟹k=95C−5 k+148=8C⟹k=8C−148

Từ 30C−10=43C−14⟹13C=4⟹C=134​ k=30×134​−10=13120​−13130​=−1310​

Kiểm tra với đẳng thức tiếp theo: k=95C−5=95×134​−5=13380​−1365​=13315​=−1310​

Cách này không khả thi.

Ta thử cộng các phân thức với các hằng số thích hợp để tạo ra nhân tử chung (x−40). 30x−10​−1=30x−40​ 43x−14​−4326​=43x−14−26​=43x−40​ 95x−5​−9535​=95x−5−35​=95x−40​ 8x−148​+8108​=8x−148+108​=8x−40​

Phương trình ban đầu tương đương với: (30x−10​−1)+(43x−14​−4326​)+(95x−5​−9535​)+(8x−148​+8108​)=−1−4326​−9535​+8108​

30x−40​+43x−40​+95x−40​+8x−40​=−1−4326​−197​+227​

(x−40)(301​+431​+951​+81​)=−1−4326​−197​+227​

Tính giá trị của biểu thức bên phải: −1−4326​−197​+227​=43×19×2−1×43×19×2−26×19×2−7×43×2+27×43×19​ =1634−1634−988−602+21981​=163418757​

Tính giá trị của biểu thức trong ngoặc bên trái: 301​+431​+951​+81​=30×43×95×843×95×8+30×95×8+30×43×8+30×43×95​ =98280032620+22800+10320+123150​=982800188890​=9828018889​

Phương trình trở thành: (x−40)×9828018889​=163418757​

x−40=163418757​×1888998280​=163418757​×1888960×1638​=1029×1888918757×60×1029​=1888918757×60​ x−40=188891125420​≈59.58 x=40+188891125420​=1888940×18889+1125420​=18889755560+1125420​=188891880980​≈99.58

Có vẻ có sai sót trong quá trình tính toán. Ta kiểm tra lại.

Phương trình: 30x−10​+43x−14​+95x−5​+8x−148​=0 (30x−10​−1)+(43x−14​−1)+(95x−5​−1)+(8x−148​+4)=−1−1−1+4=1 (Không đúng)

Ta đã thêm và bớt các số sau: −1,−1,−1,+4. Tổng cộng là +1. Vậy vế phải phải là 0+1=1.

30x−40​+43x−57​+95x−100​+8x−116​=1 (Vẫn không có nhân tử chung)

Ta quay lại cách cộng các hằng số để tạo nhân tử (x−40). (30x−10​−1)+(43x−14​−4326​)+(95x−5​−9535​)+(8x−148​+8108​)=0−1−4326​−9535​+8108​ 30x−40​+43x−40​+95x−40​+8x−40​=−1−4326​−197​+227​ (x−40)(301​+431​+951​+81​)=1634−817×2−26×38−7×86+27×817​ $= \frac{-1634 - 988 - 602 + 22059}{163