Để tìm giá trị của \( x \) sao cho biểu thức \(\frac{x-4}{x-3}\) thuộc tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \), chúng ta cần phân tích biểu thức này:

Đặt \( y = \frac{x-4}{x-3} \).

Ta có thể biến đổi biểu thức trên:

1. Nhân chéo: \( y(x-3) = x-4 \)
2. Mở ngoặc: \( yx - 3y = x - 4 \)
3. Sắp xếp lại: \( yx - x = 3y - 4 \)
4. Nhóm lại: \( x(y - 1) = 3y - 4 \)
5. Từ đó: \( x = \frac{3y - 4}{y - 1} \)

Để \( x \) là một số nguyên, thì \(\frac{3y - 4}{y - 1}\) cần phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 3y - 4 \) phải chia hết cho \( y - 1 \).

Giờ ta xét trường hợp \( y \) là các số nguyên khác nhau:

1. Nếu \( y = 1 \):
\[
x = \frac{3(1) - 4}{1 - 1} \rightarrow \text{Không xác định (chia cho 0)}
\]

2. Nếu \( y = 2 \):
\[
x = \frac{3(2) - 4}{2 - 1} = \frac{6 - 4}{1} = 2
\]

3. Nếu \( y = 3 \):
\[
x = \frac{3(3) - 4}{3 - 1} = \frac{9 - 4}{2} = \frac{5}{2} \rightarrow \text{Không là nguyên}
\]

4. Nếu \( y = 0 \):
\[
x = \frac{3(0) - 4}{0 - 1} = \frac{-4}{-1} = 4
\]

5. Nếu \( y = -1 \):
\[
x = \frac{3(-1) - 4}{-1 - 1} = \frac{-3 - 4}{-2} = \frac{-7}{-2} \rightarrow \text{Không là nguyên}
\]

6. Nếu \( y = -2 \):
\[
x = \frac{3(-2) - 4}{-2 - 1} = \frac{-6 - 4}{-3} = \frac{-10}{-3} \rightarrow \text{Không là nguyên}
\]

Có thể kiểm tra thêm một số giá trị \( y \) khác, nhưng nhìn chung, bạn có thể thử các giá trị liên tiếp. Đến khi nào \( 3y - 4 \) chia hết cho \( y - 1 \), bạn sẽ tìm được giá trị của \( x \) tương ứng.

Qua ví dụ trên, ta tìm được các giá trị của \( y = 2 \) cho \( x = 2 \) và \( y = 0 \) cho \( x = 4\). Vậy các giá trị của \( x \) mà bạn muốn tìm trong \( \mathbb{Z} \) là:

\[
x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 4
\]