Để rút gọn biểu thức \( A \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Viết lại biểu thức
\( A = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x - 1}} \)

### Bước 2: Tìm mẫu chung
Tìm mẫu chung cho các phần phân số trong phần đầu:

- Mẫu chung sẽ là \((x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)\)

### Bước 3: Quy đồng
Quy đồng hai phân số:
- \( \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \)
- \( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x - \sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \)

### Bước 4: Cộng hai phân số
\( A = \frac{\sqrt{x} - 1 + x - \sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x - 1}} \)

### Bước 5: Rút gọn biểu thức
Sẽ rút gọn phần tử ở tử số \( \sqrt{x} - 1 + x - \sqrt{x} = x - 1 \).

Do đó, chúng ta có:
\[
A = \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x - 1}}
\]

### Bước 6: Rút gọn phần tử
Khi đã rút gọn, ta có:
\[
A = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x - 1}}
\]

### Bước 7: Giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = A - 9\sqrt{x} \)
Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta sẽ cần tổng qua \( A \) và tính toán \( P = A - 9\sqrt{x} \).

### Kết luận
Rút gọn được biểu thức \( A \). Tuy nhiên, việc tìm giá trị lớn nhất của \( P \) có thể yêu cầu thêm thông tin về giá trị của \( x \). Bạn có thể sử dụng đạo hàm hoặc một số công cụ tối ưu hóa để tìm giá trị này tùy thuộc vào miền của \( x \).