Để rút gọn biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}} \cdot \frac{3x+9}{9-x}
\]

Trước tiên, ta rút gọn từng phần của \( P \).

### Bước 1: Rút gọn phần thứ hai
\[
\frac{3x + 9}{9 - x} = \frac{3(x + 3)}{9 - x}
\]

### Bước 2: Thay vào \( P \)
Biểu thức trở thành:
\[
P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 3(x + 3)}{\sqrt{x - 3} \cdot (9 - x)}
\]

### Bước 3: Thực hiện phép nhân
Giả sử \( x > 3 \) để tránh căn bậc hai âm:
\[
P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}} + \frac{3\sqrt{x}(x + 3)}{\sqrt{x - 3}(9 - x)}
\]

### Bước 4: Tìm bậc và các mẫu số
Tính toán các mẫu số để tìm ánh xạ giữa các biểu thức.

### Giải quyết b)
Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất của \( x \) sao cho \( P > \frac{1}{2} \), ta giải bất phương trình này dựa trên biểu thức đã rút gọn.

### Lưu ý:
Kiểm tra điều kiện \( x \) sao cho \( x \geq 3 \) và \( 9 - x \neq 0 \) trong quá trình giải.

### Kết luận
Đến đây, bạn có thể thử nghiệm các giá trị tự nhiên cho \( x \) từ 3 trở lên để tìm ra giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho \( P > \frac{1}{2} \).