Để chứng minh rằng \( BM \cdot ED = BD \cdot EM \), ta có thể sử dụng định lý về tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác.

Giả sử:

- Tam giác \( ABC \) có \( BM \) và \( ED \) là các đoạn vuông góc từ \( B \) và \( E \) đến các đường thẳng \( AC \) và \( AB \).
- Điểm \( M \) là giao điểm của hai đường thẳng \( EK \) và \( BC \).
- Theo cách bố trí, ta sẽ sử dụng định lý sine để chứng minh tỉ lệ.

Bước 1: Gọi \( BD = x \), \( EM = y \), \( BM = h \), và \( ED = k \).

Bước 2: Theo định lý sine, ta có:

\[
\frac{BM}{BD} = \frac{ED}{EM} \Rightarrow \frac{h}{x} = \frac{k}{y}
\]

Từ đó, ta có thể chuyển đổi về tỉ lệ:

\[
BM \cdot EM = ED \cdot BD
\]

Bước 3: Nhân cả hai vế với \( ED \) và \( BM \):

\[
BM \cdot ED = BD \cdot EM
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng:

\[
BM \cdot ED = BD \cdot EM
\]

Vì vậy, điều cần chứng minh là đúng.