Giả sử phân số \( \frac{a}{b} \) đã cho là \( \frac{5}{7} \).

Chúng ta có hai thông tin sau:

1. Rút gọn phân số \( \frac{a}{b} \) ta được \( \frac{5}{7} \):
Tức là \( a = 5k \) và \( b = 7k \) cho một số nguyên dương \( k \).

2. Thêm 71 vào tử số và giữ nguyên mẫu số, ta được phân số \( \frac{18}{11} \):
\[
\frac{a + 71}{b} = \frac{18}{11}.
\]
Thay \( a \) và \( b \) vào phương trình trên:
\[
\frac{5k + 71}{7k} = \frac{18}{11}.
\]

Tiến hành cấp bậc chéo:
\[
11(5k + 71) = 18 \cdot 7k.
\]
Mở rộng ra:
\[
55k + 781 = 126k.
\]
Chuyển các hạng tử về một phía:
\[
781 = 126k - 55k,
\]
\[
781 = 71k.
\]
Từ đó, ta tìm được:
\[
k = \frac{781}{71} = 11.
\]

Vậy \( k = 11 \).

Bây giờ chúng ta tính:
\[
a = 5k = 5 \cdot 11 = 55,
\]
\[
b = 7k = 7 \cdot 11 = 77.
\]

Vậy phân số \( \frac{a}{b} = \frac{55}{77} \).

Cuối cùng, chúng ta có phân số cần tìm là:
\[
\frac{a}{b} = \frac{55}{77}.
\]