Để thu gọn biểu thức \( A \), chúng ta bắt đầu bằng cách phân tích các phần tử trong biểu thức.

Biểu thức ban đầu là:

\[
A = \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} \right) \left( 1 - \frac{x}{x + 2} \right)
\]

### Bước 1: Tìm điều kiện xác định của \( A \)
Biểu thức sẽ không xác định khi mẫu số bằng 0. Do đó:

1. \( x^2 - 4 = 0 \) ⇔ \( x = 2 \) hoặc \( x = -2 \)
2. \( x + 2 = 0 \) ⇔ \( x = -2 \)
3. \( x - 2 = 0 \) ⇔ \( x = 2 \)

Điều kiện xác định là \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \).

### Bước 2: Rút gọn biểu thức
Chúng ta sẽ tìm chung mẫu cho các phân số trong dấu ngoặc đầu tiên:

- \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

Mẫu số chung sẽ là \( (x - 2)(x + 2) \).

Thay vào, biểu thức đầu tiên sẽ trở thành:

\[
\frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

### Bước 3: Kết hợp các phân số
Kết hợp tất cả các phân số trên:

\[
\frac{x(x + 2) + (x - 2) - 2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

### Bước 4: Rút gọn tử số
Tính tử số:

\[
x^2 + 2x + x - 2 - 2x - 4 = x^2 + 2x - 2x - 2 - 4 = x^2 - 6
\]

Khi đó, biểu thức trên trở thành:

\[
\frac{x^2 - 6}{(x - 2)(x + 2)}
\]

### Bước 5: Tính tiếp phần còn lại
Biểu thức giờ trở thành:

\[
A = \frac{x^2 - 6}{(x - 2)(x + 2)} \left( 1 - \frac{x}{x + 2} \right)
\]

Và:

\[
1 - \frac{x}{x + 2} = \frac{2}{x + 2}
\]

Thay vào, ta có:

\[
A = \frac{x^2 - 6}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{2}{x + 2} = \frac{2(x^2 - 6)}{(x - 2)(x + 2)^2}
\]

### Kết quả
Vậy, biểu thức \( A \) rút gọn được là:

\[
A = \frac{2(x^2 - 6)}{(x - 2)(x + 2)^2}, \quad x \neq 2, x \neq -2
\]

### Bước 6: Tính giá trị của \( A \) khi \( x = -4 \)
Thay \( x = -4 \):

\[
A = \frac{2((-4)^2 - 6)}{((-4) - 2)((-4) + 2)^2} = \frac{2(16 - 6)}{(-6)(-2)^2} = \frac{2 \cdot 10}{-6 \cdot 4} = \frac{20}{-24} = -\frac{5}{6}
\]

### Bước 7: Tìm giá trị nguyên của \( A \)
Để \( A \) là số nguyên, biểu thức phải có giá trị nguyên cho một giá trị nguyên của \( x \), nhưng điều này phụ thuộc vào các giá trị của \( x \) trong miền xác định.

Mong rằng những bước trên giúp bạn dễ dàng hơn trong quá trình rút gọn biểu thức!