Để chứng minh các điều kiện trong bài toán này, ta sẽ làm như sau:

### a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi.

1. **Xét tứ giác EFGH**:
- Ta có tứ giác EFGH được tạo thành từ các điểm E, F, G, và H trên các cạnh của hình vuông ABCD.

2. **Sử dụng tính chất độ dài**:
- Gọi \( AE = BF = CG = DH = x \).
- Ta có:
- \( EF = AB - AE - BF = a - x - x = a - 2x \) (vì AB = CD = a).
- \( GH = CD - CG - DH = a - 2x \) (tương tự).

3. **Tính độ dài các cạnh**:
- Ta cũng có thể tính độ dài các đoạn:
- \( EH = AD - DH - AE = a - 2x \).
- \( FG = BC - BF - CG = a - 2x \).

4. **Tính đối xứng**:
- Xét các đoạn chéo:
- \( EG \) và \( FH \) đều bằng \( x\sqrt{2} \) (bằng độ dài đường chéo của hình vuông nhỏ, nếu có), nếu vẽ hệ tọa độ cho các điểm thì ta dự đoán các đoạn \( FG, EH \) và \( EF, GH \) cũng có chiều dài bằng nhau.

5. **Kết luận**:
- Do \( EF = GH \) và \( EH = FG \), lại có \( EG = FH \), nên tứ giác EFGH có 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Do đó, EFGH là hình thoi.

### b) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.

1. **Tính các góc**:
- Để chứng minh EFGH là hình vuông, cần chứng minh cả 4 góc của tứ giác đều bằng 90 độ.
- Ta có thể sử dụng định lý Pythagor hoặc tính toán hệ tọa độ cho từng điểm như sau:
- Giả sử A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
- Các điểm E, F, G, H sẽ có tọa độ tương ứng, từ đó có thể tính các góc tại các đỉnh.

2. **Sử dụng tính chất của hình vuông**:
- Nếu góc EFG = 90 độ và góc EHG = 90 độ, thì chứng tỏ có 4 góc đều 90 độ.
- Ta có thể tính tỉ lệ giữa các cạnh và độ dài đường chéo để kiểm tra.

3. **Kết luận**:
- Nếu sau tính toán ta xác định được 4 góc đều là 90 độ và cạnh EF = FH, vậy EFGH là hình vuông.

Chứng minh EFGH là hình thoi và hình vuông là hoàn tất.