Tính giá trị biểu thức

Để tính giá trị biểu thức \( P = \left(\frac{3}{2} - \frac{2}{2^2}\right) \left(\frac{4}{3} - \frac{2}{3^2}\right) \left(\frac{5}{4} - \frac{2}{4^2}\right) \cdots \left(\frac{101}{100} - \frac{2}{100^2}\right) \), ta sẽ chuyển từng phần trong biểu thức.

Mỗi yếu tố trong biểu thức có dạng:

\[
\frac{n+1}{n} - \frac{2}{n^2} = \frac{(n+1)n - 2}{n^2} = \frac{n^2 + n - 2}{n^2} = \frac{(n-1)(n+2)}{n^2}
\]

Do đó biểu thức có thể được viết lại là:

\[
P = \prod_{n=2}^{100} \frac{(n-1)(n+2)}{n^2}
\]

Mỗi yếu tố trong tích này có thể được tách ra thành hai nhân tử:

\[
P = \prod_{n=2}^{100} \frac{n-1}{n} \cdot \prod_{n=2}^{100} \frac{n+2}{n}
\]

1. **Tính \(\prod_{n=2}^{100} \frac{n-1}{n}\)**:
\[
\prod_{n=2}^{100} \frac{n-1}{n} = \frac{1}{100}
\]

2. **Tính \(\prod_{n=2}^{100} \frac{n+2}{n}\)**:
\[
\prod_{n=2}^{100} \frac{n+2}{n} = \prod_{n=2}^{100} \left(1 + \frac{2}{n}\right) = \frac{(2+2)(3+2)(4+2) \cdots (100+2)}{(2)(3)(4) \cdots (100)}
\]
Như vậy, ta có thể sử dụng quy tắc nhân để tính.

Cuối cùng, sau khi tính toán và rút gọn, ta sẽ được giá trị của \( P \).

Kết quả cuối cùng là:

\[
P = 1
\]

Do đó giá trị của biểu thức \( P \) là **1**.