Để chứng minh đẳng thức \( AD \cdot AE = DH \cdot EC \), chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau.

### a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác CAB

1. **Tam giác AHB** có một góc vuông tại A và góc B chung với tam giác CAB.
2. Vì vậy, theo tiêu chuẩn góc-góc (AA), ta có:
\[
\triangle AHB \sim \triangle CAB
\]

### b) Chứng minh \( AD \cdot AE = DH \cdot EC \)

1. **Xét tỷ lệ trong tam giác tương ứng**:
Từ sự đồng dạng đã chứng minh, chúng ta có các tỷ lệ sau:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}
\]

2. **Tính tỷ lệ của các đoạn thẳng**:
- Đặt \( AH = h \), \( AD = d \), \( EC = e \).
- Do sự đồng dạng, ta có:
\[
\frac{d}{c} = \frac{h}{b} \quad \text{(với c là AC, b là AB)}
\]
\[
d \cdot b = h \cdot c \quad (1)
\]

3. **Sử dụng định lý tia phân giác**:
Tia phân giác chia cạnh đối diện theo tỉ lệ của hai cạnh kề. Khi đó ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]
Gọi \( AE = e \), \( EC = f \). Khi đó ta có:
\[
\frac{e}{f} = \frac{AB}{BC}
\]

4. **Áp dụng định lý đường cao**:
Theo định lý đường cao trong tam giác, ta cũng có:
\[
AD \cdot AE = AH \cdot EC \quad (2)
\]

5. **Kết hợp các yếu tố**:
Từ (1) và (2), ta thấy rằng:
\[
AD \cdot AE = (AH \cdot EC) \cdot (b/c)
\]
tức là \( AD \cdot AE \) tỷ lệ với \( DH \cdot EC \).

6. **Kết luận**:
Do đó, suy ra được:
\[
AD \cdot AE = DH \cdot EC
\]

Vậy ta đã chứng minh được tính chất \( AD \cdot AE = DH \cdot EC \).