Để xác định giá trị của \( M \) sao cho đường thẳng có phương trình \( y = m + x \) không cắt parabol \( y = x^2 \), ta cần tìm điều kiện mà phương trình hoành độ hai đồ thị không có nghiệm.

Đặt phương trình của hai đồ thị bằng nhau:

\[
x^2 = m + x
\]

Chuyển đổi phương trình:

\[
x^2 - x - m = 0
\]

Đường thẳng không cắt parabol khi phương trình bậc 2 không có nghiệm, tức là khi discriminant của phương trình này nhỏ hơn 0. Tính discriminant:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 1 + 4m
\]

Để đường thẳng không cắt parabol, phải có:

\[
1 + 4m < 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
4m < -1 \\
m < -\frac{1}{4}
\]

Vậy để đường thẳng \( y = m + x \) không cắt parabol \( y = x^2 \), giá trị của \( m \) cần thỏa mãn:

\[
m < -\frac{1}{4}
\]