Để rút gọn biểu thức \( A \), ta sẽ xem xét từng phần trong biểu thức một cách cẩn thận. Biểu thức cần rút gọn là:

\[
A = \left( \frac{x - 6\sqrt{x} + 5}{x - \sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) \cdot \left( 2 - \frac{5}{\sqrt{x} + 2} \right)
\]

### Bước 1: Rút gọn từng phần

1. **Rút gọn phần \( \frac{x - 6\sqrt{x} + 5}{x - \sqrt{x} - 2} \)**

Ta có thể viết lại \( x - 6\sqrt{x} + 5 \) như sau:
\[
x - 6\sqrt{x} + 5 = (\sqrt{x} - 5)^2
\]

Đối với mẫu \( x - \sqrt{x} - 2 \):
\[
x - \sqrt{x} - 2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{(\sqrt{x} - 5)^2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)}
\]

2. **Rút gọn phần \( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} \)**

Biểu thức này không thể rút gọn thêm.

3. **Rút gọn phần \( \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \)**

Phần này cũng không thể rút gọn thêm.

### Bước 2: Ghép lại

Giờ ta kết hợp tất cả các phần đã rút gọn, sau đó nhân với \( (2 - \frac{5}{\sqrt{x} + 2}) \) và tìm cách đơn giản hóa.

### Bước 3: Tối giản hóa biểu thức

Khi bạn kết hợp các thành phần lại, bạn sẽ có được một biểu thức phức tạp hơn. Bạn có thể cần tìm giá trị cụ thể của \( x \) để rút gọn hơn nữa, hoặc nếu có điều kiện cho \( x \) trong bài toán.

Để đạt được định dạng ngắn gọn hơn, bạn có thể thay thế và biến đổi các phần trong biểu thức để tìm biểu thức đồng nhất hơn, hoặc rút gọn bằng cách chia hết hoặc lấy ước số chung.

Sau cùng, bạn sẽ cần phải kiểm tra các điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \) để đảm bảo rằng biểu thức luôn hợp lệ.

### Kết quả rút gọn

Do biểu thức rất phức tạp, nếu bạn rút gọn đầy đủ, bạn có thể tìm ra được dạng một hạng tử đơn giản hơn hoặc là nhận được một biểu thức phụ thuộc vào \( x \). Bạn có thể sử dụng máy tính để hỗ trợ việc tính toán trong các bước phức tạp hơn.