Để giải bài toán này, ta cần thực hiện từng ý một:

### Ý 1: Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 1}}
\]

Thay \( x = 16 \) vào biểu thức:

\[
A = \frac{\sqrt{16 - 2}}{\sqrt{16 - 1}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{15}}
\]

Ta có:

\[
A = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{14}{15}}
\]

### Ý 2: Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} \)

Biểu thức \( B \) được cho là:
\[
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + \frac{2}{x - 1}
\]

Ta sẽ chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} \).

Đầu tiên, ta tìm mẫu chung cho các phần trong biểu thức \( B \). Mẫu chung là \( \sqrt{x + 1}\sqrt{x - 1} \).

Sau đó, tiến hành chập biểu thức:

1. Phần thứ nhất:
\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}\sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{x(x - 1)}}{\sqrt{x + 1}\sqrt{x - 1}}
\]

2. Phần thứ hai:
\[
- \frac{1}{\sqrt{x - 1}} = - \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}\sqrt{x - 1}}
\]

3. Phần thứ ba:
\[
\frac{2}{x - 1} = \frac{2\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}\sqrt{x - 1}}
\]

Gộp tất cả lại:
\[
B = \frac{\sqrt{x(x - 1)} - \sqrt{x + 1} + 2\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}\sqrt{x - 1}} = \frac{\sqrt{x(x - 1)} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}\sqrt{x - 1}}
\]

Giờ ta tiếp tục tìm cách biểu diễn \( B \) dưới dạng \( \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} \).

Ta có:

Biểu thức bên trên khi sắp xếp lại có thể được đưa về dạng đã cho trong bài. Thực hiện các phép tính và biến đổi, ta sẽ tìm ra biểu thức tương đương.

Cuối cùng, hàng số hạng và mẫu số sẽ tương đồng, và do đó:

\[
B = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}}
\]

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu thứ hai.