Trong tam giác ABC cân tại A, ta có \( AB = AC \) và \( \angle B = \angle C \). Biết rằng \( \angle B = 2\angle A \), ta có thể ký hiệu:

- \( \angle A = x \)
- \( \angle B = 2x \)
- \( \angle C = 2x \)

Do tổng ba góc trong tam giác bằng 180 độ, ta có:

\[
x + 2x + 2x = 180
\]
\[
5x = 180
\]
\[
x = 36
\]

Vậy:

- \( \angle A = 36^\circ \)
- \( \angle B = 72^\circ \)
- \( \angle C = 72^\circ \)

Bây giờ ta xem xét tia phân giác của góc B cắt AC tại điểm D. Theo định lý tia phân giác, ta biết rằng góc ADB có thể được tìm bằng cách điều chỉnh các góc đã biết.

Tia phân giác BD chia góc B thành hai phần bằng nhau, tức là:

\[
\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \cdot \angle B = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ
\]

Bây giờ, trong tam giác ADB, ta có:

\[
\angle ADB = 180^\circ - \angle ABD - \angle A
\]
\[
\angle ADB = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ
\]
\[
\angle ADB = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ
\]

Do đó, số đo góc ADB là:

\[
\angle ADB = 108^\circ
\]