Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích các biểu thức và thực hiện phép tính.

Bắt đầu với phương trình:

\[
\frac{2}{3} + \frac{1}{3} : x = \frac{22}{3} + \frac{1}{3} : x = 2
\]

Trước tiên, chúng ta tính giá trị của các biểu thức bên trái và bên phải phương trình.

**Bước 1: Tính giá trị bên trái**

\[
\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1
\]

Bây giờ, bên trái phương trình trở thành:

\[
1 : x = \frac{1}{x}
\]

**Bước 2: Tính giá trị bên phải**

\[
\frac{22}{3} + \frac{1}{3} = \frac{23}{3}
\]

Bây giờ, bên phải phương trình trở thành:

\[
\frac{23}{3} : x = \frac{23}{3x}
\]

**Bước 3: Thiết lập phương trình**

Bây giờ chúng ta có được phương trình:

\[
\frac{1}{x} = \frac{23}{3x}
\]

**Bước 4: Nhân cả hai bên với \(3x\) (giả sử \(x \neq 0\)) để loại bỏ mẫu số:**

\[
3 = 23
\]

**Bước 5: Giải phương trình**

Từ phương trình \(3 = 23\), điều này là không đúng, chỉ ra rằng không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn phương trình được cho.

Vì vậy, phương trình không có nghiệm.